Résumé sur les actions mécaniques

- Les torseurs -

1) Rappels sur les actions mécaniques

Une action mécanique en un point peut être composée d’un effort et d’un moment provoqué par cet effort.

Exemple : Analysons les actions mécaniques sur une porte en liaison pivot avec un mur. (vue de dessus de la porte).

1^er cas : L’utilisateur pousse la porte au niveau de la charnière (au point A :centre de la liaison) ; il exerce un effort . Comment est le moment de cet effort par rapport au point A :  ?

........................ =0 car il n’y a pas de distance perpendiculaire à l’effort et passant par Aè conséquence : la porte ne tourne pas.

Donc l’action mécanique au point A se résume à un effort que l’on note . Il n’y a pas de difficulté particulière pour noter ou indiquer cette action mécanique.

2ème cas : l’utilisateur pousse la porte au niveau de la poignée au point B avec la même force.

Comment est le moment de cet effort par rapport au point A : ?

....... =

Le moment n’est pas nul è la porte tourne autour du point A.

L’action mécanique ne se résume pas seulement à l’effort  ; elle est indissociable du moment provoqué par cet effort autour du point A : .

Lorsqu’on veut noter ou parler de cette action mécanique au point A, il faut à la fois préciser l’effort et le moment induit par l’effort. è La notation commence alors à se compliquer et il ne sera pas aisé de travailler avec des équations si on n’a pas un outil qui présente mieux l’action mécanique.

Comment peut on faire pour présenter toutes les caractéristiques de cette action mécanique au point A dans un repère donné ?

Il faut pouvoir indiquer :	Pour le 2^ème cas étudié précédemment
Le point où on étudie cette action mécanique :	Point A
L’effort (par ses composantes Fx, Fy, Fz projetée sur les axes d’un repère)  (les composantes seront projetées à l’aide d’un angle donné):	-Fx porté par et +Fy porté par
Le moment éventuel de cet effort (projeté sur les axes d’un repère) :	+ porté par
Le repère de travail	O,, ,

Cet outil de présentation s’appelle le torseur d’une action mécanique.

Exemple d’écriture du torseur de l’action mécanique de l’utilisateur sur la porte au point A dans O,, ,

1^er cas :

2ème cas :

C’est ce que l’on appelle l’écriture en ligne d’un torseur.

NOTA : Les composantes des efforts sont toujours en haut et les composantes des moments toujours en bas.

Il existe aussi l’écriture en colonne qui peut être plus pratique dans certains cas. Les deux écritures sont différentes mais les informations contenues sont les mêmes, seule la présentation change.

1^er cas :

Nota : il s’agit ici de bien retenir que les composantes des efforts sont toujours à gauche et les composantes des moments sont toujours à droite.

2ème cas :

C’est ce que l’on appelle l’écriture en colonne d’un torseur.

2) Transport d’un torseur

Reprenons le 2ème cas vu précédemment ; pour trouver les effets de l’effort en B par rapport au point A, nous avons calculer intuitivement le moment de l’effort par rapport au point A. Le système de présentation des torseurs va permettre de faire une opération beaucoup plus mathématique pour obtenir le résultat ; c’est ce que l’on appelle le transport des torseurs d’un point à un autre et le moment de l’effort sera alors obtenu par un produit vectoriel.

Dans notre cas, le torseur en B s’écrit : :

Cela peut se aussi se calculer vectoriellement en transportant le torseur du point B au point A par l’expression suivante :

Dans notre cas, le moment en B de l’effort u/p est nul : =0.

Il nous reste à faire le produit vectoriel et à écrire le résultat sous forme de torseur.

Donc : en ligne

Ou : en colonne.

3) Résolution d’un problème de statique par les torseurs.

Exemple de la Ferrari déjà traité.

Considérons une Ferrari de masse m=1250 Kg ; La voiture étant immobile, on désire connaître les actions mécaniques sur les pneumatiques au point A et au point B.

Le sol sera repéré 0, la roue arrière 1 et la roue avant 2.

1) Isolez la voiture et faites le bilan des actions mécaniques.

2) Ecrivez le bilan des actions mécaniques en chaque point sous forme de torseurs.

3) Déterminez si le problème est isostatique ou hyperstatique.

4) Connaissant les données suivantes : et  , appliquez le P.F.S. sous forme de torseur au point B .

5) Transportez tous les torseurs au point B et écrire les 3 équations d’équilibre issues du P.F.S.

6) Déterminez l’effort sur chaque roue arrière et chaque roue avant de la voiture.

7) Ecrire les torseurs sur les roues avant et arrière en colonne en remplaçant les inconnues.

Résolution

1) on isole la voiture et ses roues :

Bilan des actions mécaniques extérieures. Il faudra rapidement vous passez d’utiliser ce tableau pour ne travailler qu’avec les torseurs.

NOM	P.A.	Direction	Sens	Norme	Nb d’inconnues
	G	Verticale	Vers le bas	12500 N	0
	A	Liaison ponctuelle=> effort perpendiculaire au sol => est vertical.	Vers la matière	?	1
	B	Liaison ponctuelle=> effort perpendiculaire au sol => est vertical.	Vers la matière	?	1

2) De la même façon, on peut faire le bilan sous forme de torseurs ; on a alors 3 torseurs d’action mécanique exprimés dans le repère R=(O,x,y,z) :

 ;  ;

Nota :Les inconnues sont remplacées par des variables positives.

3) Le problème est isostatique car on a 2 inconnues < 3 équations dans le plan.

4) Le P.F.S. ne change pas mais il s’exprime de la façon suivante sous forme de torseur :

Somme des torseurs en un point = 0 è . En développant dans notre cas, on obtient :

NOTA : Tous les torseurs doivent être ramenés au même point. (Erreur « classique » à éviter)

Pour pouvoir additionner ces torseurs, il faut maintenant tous les exprimer au point B ; on va donc les transporter de leur point respectif au point B.

5) Transport du torseur poids du point G au point B

avec

Donc

NOTA : Attention aux signes des vecteurs : (Erreur « classique » à éviter).

Et donne un résultat différent de au signe près et donc faux. Ne pas inverser !$

Transport du torseur de 0/1 du point A au point B

avec

Donc

Le 3^ème torseur est déjà exprimé au point B, donc il ne nous reste plus qu’à appliquer le P.F.S. en additionnant chaque terme des torseurs.

Nota :On remarque que l’on a que 2 équations utiles sur les 3 prévues lors de la vérification de l’isostatisme. Il suffit maintenant de résoudre pour déterminer nos inconnues.

6) et donc en utilisant l’équations des efforts , on a : .

Chacune des deux roues avant supporte 3880/2 = 1940 N et chacune des deux roues arrière supporte 8620/2 = 4310 N.

7) Si on écrit les torseurs sans leurs inconnues, on a :

et au point B :

NOTA :Les torseurs seront écrit en ligne ou en colonne selon les indications données dans les sujets de bac.